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GRABS Übungsaufgaben Automaten und Schaltwerke Schaltungsminimierung

Schaltungsminimierung

Ein 1-Multiplexer schaltet abhängig vom Steuersignal S die Eingänge X0 oder X1 zum Ausgabesignal Q durch.

Multiplexer mit den Eingängen X0 und X1 von links, dem Steuereingang S von unten und der Ausgabe Q rechts.

a)

Level 1: Wissen

Erstellen Sie eine Wertetabelle für dieses Bauteil.

Lösung
X1X0SQ
0000
0010
0101
0110
1000
1011
1101
1111

b)

Level 1: Wissen

Formulieren Sie für das Ausgabesignal Q einen logischen Ausdruck in Disjunktiver Normalform. Benennen Sie in Ihrer Antwort je ein Beispiel für ein Literal, einen Minterm, eine Konjunktion und eine Disjunktion.

Lösung 
Q = (/X1 *  X0 * /S) + (X1 * /X0 *  S) + (X1 *  X0 * /S) + (X1 *  X0 *  S)
  • Literale: /X1, X0, …
  • Konjunktionen: /X1 * X0, X1 * /X0 * S, …
  • Minterme: /X1 * X0 * /S, X1 * /X0 * S, …
  • Disjunktionen: (/X1 * X0 * /S) + (X1 * /X0 * S), (X1 * X0 * /S) + (X1 * X0 * S), …

c)

Level 3: Anwenden

Nutzen Sie die Regeln der Booleschen Algebra, um den logischen Ausdruck zu minimieren. Weisen Sie aus, auf welche Axiome Sie Ihre Umformungen stützen.

Lösung 
Q = (/X1*X0*/S) + (X1*/X0*S) + (X1*X0*/S) + (X1*X0*S) | Resolution
  =   (X0*/S)   + (X1*/X0*S) +              (X1*X0*S) | Resolution
  =   (X0*/S)   +   (X1*S)

d)

Level 3: Anwenden

Prüfen Sie mithilfe eines Karnaugh-Veitch-Diagramms Ihre Lösung.

Lösung

Zunächst erstellen wir die zweidimensionale Tafel für unseren Lösungsraum mit drei booleschen Variablen. Es kann dabei hilfreich sein, sich zunächst den Würfel im Raum $\mathcal{B}^3$ vorzustellen.

Leeres KV-Diagramm: Zwei Reihen mit der Beschriftung S=0 und S=1, vier Spalten mit den Kombinationen X1, X0 = 00, 01, 11, 10. Daneben ein Würfel aus den Koordinaten X1, X0, S.

Im zweiten Schritt markieren wir die Felder, die unseren Mintermen entsprechen.

Dasselbe KV-Diagramm, aber mit Einsen als Markierungen für die einschlägigen Zeilen der Wertetabelle: X1X0S=001 entspricht beispielsweise einem der Minterme.

Für die folgenden Schritte ist wichtig: Benachbarte Knoten des Würfels und benachbarte Felder der 2D-Abbildung haben eine Hamming-Distanz von 1. Sie unterscheiden sich also nur in der Ausprägung einer Variable.

  1. Suche alle größten Rechtecke mit Zweierpotenzlänge. Wir können insgesamt drei Rechtecke bilden: Für die beiden Einsen in der oberen Reihe, für die beiden in der unteren Reihe und für die Spalte (X1, X0) = (1, 1).
  2. Bilde für jedes Rechteck ein passendes Monom. Durch die Nachbarschaft der Tafeln brauchen wir für jedes Monom nur zwei Literale, da die Ausprägung der dritten Variable egal ist. Die drei Rechtecke werden beschrieben durch X0*/S, X1*S und X1*X0.
  3. Decke alle Einsen durch sparsame Rechteckauswahl ab. Wir stellen fest, dass das vertikale Rechteck die anderen beiden überlappt. Es kann daher weggelassen werden.
  4. Bilde Q als Disjunktion der korrespondierenden Monome. Unser fertiger logischer Ausdruck ist also: Q = X0*/S + X1*S

Noch einmal dasselbe KV-Diagramm. Jeweils zwei Flächen wurden zu einem Rechteck zusammengefasst.

Lernziele

In dieser Aufgabe …

  • festigen die Studierenden ihr Verständnis von der Arbeitsweise eines einfachen Multiplexers.
  • werden die Begrifflichkeiten der algebraischen Schaltungsminimierung wiederholt.
  • wenden die Studierenden die Axiome der Booleschen Algebra zur Schaltungsminimierung an.
  • nutzen die Studierenden Karnaugh-Veitch-Diagramme zur Schaltungsminimierung.