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GRABS Übungsaufgaben Zahlen und Zeichen Alternatives Zahlenformat

Alternatives Zahlenformat

Wir betrachten ein vom Standard abweichendes Gleitkommazahlenformat mit einer Gesamtlänge von 12 Bit, wie es zum Beispiel in KI-Anwendungen zum Einsatz kommt. Vorzeichen und Exponent haben zusammen 4 Bit, dabei richtet sich die Kodierung des Exponenten nach dem IEEE-Standard 754.

Stellen Sie die folgenden Dezimalzahlen in diesem Format dar.

a)

Level 3: Anwenden

$-5_{10}$

Lösung

Vorzeichen: 1 (negativ)

Exponent:

  • $5_{10} = 101_2$ → verschieben um zwei Stellen
  • Bias $b = 2^{l-1}-1 = 2^{3-1}-1 = 3$
  • $E = 2 + 3 = 5_{10} = 101_2$

Mantisse:

  • Intervall: $[2^2, 2^3)$
  • $M = 2^{8} \cdot \frac{\text{5} - 4}{8-4} = 64_{10} = 0100.0000_{2}$
VEEE MMMM MMMM
1101 0100 0000 (binär)
   D    4    0 (hex)

b)

Level 3: Anwenden

$4{,}05_{10}$

Lösung

Vorzeichen: 0 (positiv)

Exponent:

  • $4_{10} = 100_2$ → verschieben um zwei Stellen
  • Bias $b = 2^{l-1}-1 = 2^{3-1}-1 = 3$
  • $E = 2 + 3 = 5_{10} = 101_2$

Mantisse:

  • Intervall: $[2^2, 2^3)$
  • $M = 2^{8} \cdot \frac{\text{4{,}05} - 4}{8-4} = 3.2 \approx 3_{10} = 11_2$
VEEE MMMM MMMM
0101 0000 0011 (binär)
   5    0    3 (hex)

c)

Level 3: Anwenden

Was ist die größte bzw. kleinste positive Dezimalzahl ungleich der Null, die in diesem Gleitkommaformat dargestellt werden kann? Geben Sie zusätzlich jeweils die entsprechende Bitfolge an. Ignorieren Sie hierbei Sonderfälle des IEEE 754-Standards wie etwa die Denormalisierung.

Lösung

Größte positive Dezimalzahl:

  • $0111.1111.1111_2 = (-1)^0 \cdot (1 + \frac{255}{256}) \cdot 2^{7-3} = 31{,}9375_{10}$
VEEE MMMM MMMM
0111 1111 1111

Kleinste positive Dezimalzahl größer Null:

  • $0000.0000.0000_2 = (-1)^0 \cdot (1 + 0) \cdot 2^{0-3} = 0{,}125_{10}$
VEEE MMMM MMMM
0000 0000 0000

d)

Level 3: Anwenden

Wenden Sie nun die bekannten Sonderregeln des Standards IEEE 754-2008 auf die vorherige Aufgabe an. Welchen Werten entsprechen die ermittelten Bitfolgen nun?

Lösung

$0111.1111.1111_2$:

  • Sonderregel: Wenn alle Bits des Exponenten 1 sind und die Mantisse ungleich 0, erhält man NaN (Not a Number, explizit ungültige Zahl).
  • nach Standard also $0111.1111.1111_2$ = +NaN

$0000.0000.0000_2$:

  • Sonderregel: Wenn alle Bits des Exponenten und der Mantisse 0 sind, entspricht die Zahl der +0.
  • nach Standard also $0000.0000.0000_2 = +0$

e)

Level 3: Anwenden

Welche Ausnahme sähe der Standard IEEE 754-2008 für die Zahl $0000.0000.1101_2$ vor? Welchem Wert entspräche diese Zahl unter Berücksichtigung der Sonderregel?

Lösung

Sonderregel: Wenn alle Bits des Exponenten 0 sind und die Mantisse ungleich 0, wird die Zahl denormalisiert. In diesem Zustand ist der Exponent implizit 1 und wir addieren nicht 1 zur Mantisse. Dadurch können kleinere Zahlen als sonst repräsentiert werden.

Ergebnis:

  • $0000.0000.1101_2 = (-1)^0 \cdot (\frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256}) \cdot 2^{1-3} \approx 0{,}0127_{10}$

Lernziele

In dieser Aufgabe …

  • übertragen die Studierenden ihre Kenntnisse des Gleitkommazahl-Standards auf eine neue Darstellung.
  • festigen die Studierenden ihr Verständnis des darstellbaren Wertebereichs.
  • wiederholen die Studierenden die Ausnahmen im IEEE-Standard 754-2008.