GRABS Übungsaufgaben Zahlen und Zeichen Bruchdarstellung

Bruchdarstellung

Wir betrachten eine 32-Bit-Zahlendarstellung, bei der ein Bit das Vorzeichen (sign), 15 Bit den Zähler (numerator) und 15 Bit den Nenner (denominator) des Bruches angeben. Bit 0 ist in dieser Darstellung immer = 0.

Schema des Zahlenformats: 1 Bit Vorzeichen (0 = positiv, 1 = negativ, 15 unsigned Bits Zähler, 15 unsigned Bits Nenner, 1 Bit unused - immer 0)

Hinweise:

Die in der Abbildung angegebene Beispielzahl hat den Wert +0,5.
Sie können den Fall, dass der Nenner = 0 ist, ignorieren.
Alle dargestellten Zahlen passen in das angegebene Format, ignorieren Sie Überläufe (overflows).

Diese Aufgabe war Teil der Klausur im Sommersemester 2025 (Zweittermin).

a)

Level 3: Anwenden

Was ist die größte positive Zahl, die in diesem Format dargestellt werden kann?

Lösung

Zähler: alle 15 Bit gesetzt, Wert $2^{16}-1 = 65.535$
Nenner: 1 als kleinstmögliche Zahl
Ergebnis: $\frac{65.535}{1} = 65.535$

VZZZ ZZZZ ZZZZ ZZZZ NNNN NNNN NNNN NNN0
0111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0010

b)

Level 3: Anwenden

Was ist die kleinste positive Zahl größer 0, die in diesem Format dargestellt werden kann?

Lösung

Zähler: 1 als kleinstmögliche Zahl
Nenner: alle 15 Bit gesetzt, Wert $2^{16}-1 = 65.535$
Ergebnis: $\frac{1}{65.535} \approx 1{,}5259 \cdot 10^{-5}$

VZZZ ZZZZ ZZZZ ZZZZ NNNN NNNN NNNN NNN0
0000 0000 0000 0001 1111 1111 1111 1110

c)

Level 3: Anwenden

Stellen Sie den Bruch $-\frac{13}{31}$ im angegebenen Format dar und geben Sie die Darstellung als Hexadezimalzahl an.

Lösung

Ansatz:

negativ, also Vorzeichen 1
$13_{10} = 000.0000.0000.1101_2$
$31_{10} = 000.0000.0001.1111_2$

VZZZ ZZZZ ZZZZ ZZZZ NNNN NNNN NNNN NNN0
1000 0000 0000 1101 0000 0000 0011 1110 (Binär)
   8    0    0    D    0    0    3    E (Hex)

Ergebnis: 800D003E$_{16}$

Lernziele

In dieser Aufgabe …

erproben die Studierenden das Lesen von dokumentierten Bitschemata.
analysieren die Studierenden die Wertebereiche des Zahlenformats.