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GRABS Übungsaufgaben Zahlen und Zeichen Komplementdarstellung

Komplementdarstellung

Stellen Sie die Zahlen im Einerkomplement, Zweierkomplement und Exzess-Code dar. Schreiben Sie die Zahl als Binär- oder Hexadezimalzahl mit einer Zahlengröße von 16 Bit. Nehmen Sie für die Berechnung des Bias $b = 2^{l−1}$ an.

a)

Level 1: Wissen

$1111_{10}$

Lösung 
Betrag (binär):   0000 0100 0101 0111
Einerkomplement:  0000 0100 0101 0111
Zweierkomplement: 0000 0100 0101 0111
Exzess-Code:      1000 0100 0101 0111

b)

Level 1: Wissen

$−2030_{10}$

Lösung 
Betrag (binär):   0000 0111 1110 1110
Einerkomplement:  1111 1000 0001 0001
Zweierkomplement: 1111 1000 0001 0010
Exzess-Code:      0111 1000 0001 0010

c)

Level 1: Wissen

$-511_{10}$

Lösung 
Betrag (binär):   0000 0001 1111 1111
Einerkomplement:  1111 1110 0000 0000
Zweierkomplement: 1111 1110 0000 0001
Exzess-Code:      0111 1110 0000 0001

d)

Level 2: Verstehen

Erklären Sie an passenden Beispielen die Vor- und Nachteile der drei Zahlendarstellungen Einerkomplement, Zweierkomplement und Exzess-Code.

Lösung

Das Einerkomplement ist symmetrisch (z.B. bei 3 Bit: -3 bis +3) und das erste Bit denotiert immer das Vorzeichen. Allerdings ist die Null nicht eindeutig, wodurch eine Zahl “verschwendet” wird: Bei $l = 3$ repräsentiert $000_2$ die +0 und $111_2$ die -0.

Das Zweierkomplement wiederum hat eine eindeutige Null, wodurch der darstellbare Wertebereich eine Zahl mehr fassen kann. Das erste Bit denotiert ebenfalls immer das Vorzeichen. Durch die eindeutige Null ist der Zahlenbereich allerdings nicht symmetrisch (bei 3 Bit: -4 bis +3). Dennoch kann man mit Zahlen im Zweierkomplement einfach und effizient rechnen, siehe dazu auch die folgenden Aufgaben in diesem Kapitel.

Beim Exzess-Code ist die Null eindeutig, aber der Vorzeichenwechsel einer Zahl ist schwierig. Zum Beispiel bedeutet ein Vorzeichenwechsel von 1 auf -1 im Exzess-Code (bei $l = 3$ und $b = 2^{l−1}$) einen Wechsel von $101_2$ auf $011_2$.

Lernziele

In dieser Aufgabe …

  • wiederholen die Studierenden die Darstellung positiver und negativer Ganzzahlen.
  • reflektieren die Studierenden Vor- und Nachteile der Darstellungsweisen.