« »

GRABS Übungsaufgaben Automaten und Schaltwerke Boolesche Algebra

Boolesche Algebra

a)

Level 3: Anwenden

Zeigen Sie, dass die folgenden booleschen Funktionen äquivalent sind. Verwenden Sie hierfür die Gesetze der booleschen Algebra. Geben Sie jeweils die verwendeten Axiome an.

(x1*/x2) + (/x1*x2) = /(/(x1*/(x2*x2)) * /(/(x1*x1)*x2))

Diese Aufgabe stammt aus Kapitel 3, Aufgabe 3.1 von "Grundlagen der Rechnerarchitektur: Von der Schaltung zum Prozessor" (Slomka & Glaß, 2023).

Lösung 
  (x1*/x2) + (/x1*x2) = /(/(x1*/(x2*x2)) * /(/(x1*x1)*x2)) | Idempotenz
= (x1*/x2) + (/x1*x2) =   /(/(x1*/x2)    *    /(/x1*x2))   | DeMorgan
= (x1*/x2) + (/x1*x2) =    //(x1*/x2)    +    //(/x1*x2)   | Involution
= (x1*/x2) + (/x1*x2) =      (x1*/x2)    +      (/x1*x2)

b)

Level 3: Anwenden

Zeigen Sie, dass die folgenden booleschen Funktionen äquivalent sind. Verwenden Sie hierfür die Gesetze der booleschen Algebra. Geben Sie jeweils die verwendeten Axiome an.

(x1*x2) + (/x1*x3) + (/x2*/x3) = /((/x1+/x2) * (x1+/x3)  * (x2+x3))

Diese Aufgabe stammt aus Kapitel 3, Aufgabe 3.1 von "Grundlagen der Rechnerarchitektur: Von der Schaltung zum Prozessor" (Slomka & Glaß, 2023).

Lösung 
(x1*x2) + (/x1*x3) + (/x2*/x3) = /((/x1+/x2) * (x1+/x3)  * (x2+x3)) | DeMorgan
(x1*x2) + (/x1*x3) + (/x2*/x3) = /(/x1+/x2)  + /(x1+/x3) + /(x2+x3) | DeMorgan
(x1*x2) + (/x1*x3) + (/x2*/x3) = (//x1*//x2) + (/x1*//x3)+(/x2*/x3) | Involution
(x1*x2) + (/x1*x3) + (/x2*/x3) =  (x1*x2)    + (/x1*x3)  +(/x2*/x3)

c)

Level 3: Anwenden

Minimieren Sie folgende Funktion so weit wie möglich. Geben Sie jeweils die verwendeten Axiome an.

f(x1) = (x1 + 0) * (0 + 1) * 1

Diese Aufgabe stammt aus Kapitel 3, Aufgabe 3.2 von "Grundlagen der Rechnerarchitektur: Von der Schaltung zum Prozessor" (Slomka & Glaß, 2023).

Lösung 
f(x1) = (x1 + 0) * (0 + 1) * 1 | Neutralelement
f(x1) = (x1 + 0) * 1           | Neutralelement
f(x1) = (x1 + 0)               | Neutralelement
f(x1) =  x1

Lernziele

In dieser Aufgabe …

  • festigen die Studierenden ihre Kenntnisse der Axiome in der Booleschen Algebra.
  • üben die Studierenden die algebraische Minimierung von Schaltungen.
  • bewerten die Studierenden die Äquivalenz von logischen Ausdrücken.